Lors d’un contrôle de maths, le blocage arrive souvent au même endroit : vous savez qu’il faut utiliser une formule de trigonométrie, mais impossible de retrouver le signe devant le sin sin ou l’ordre des termes dans cos cos. Ce flottement coûte des points, au bac comme en prépa. Cette fiche rassemble les formules cos cos sin sin à maîtriser, avec une méthode pour les retenir sans les confondre.
Formules d’addition cos cos sin sin : les quatre à graver
Tout repose sur deux paires. Les formules d’addition expriment le cosinus et le sinus d’une somme ou d’une différence d’angles a et b.
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Pour le cosinus : cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b, et cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Le motif est symétrique : cos cos d’abord, sin sin ensuite. Le signe du milieu s’inverse par rapport au signe dans la parenthèse.
Pour le sinus : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, et sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Le motif croise les fonctions : sin cos puis cos sin, dans cet ordre. Le signe du milieu suit celui de la parenthèse.
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Vous avez remarqué la logique ? Cosinus garde les fonctions identiques (cos cos, sin sin) et inverse le signe. Sinus croise les fonctions (sin cos, cos sin) et conserve le signe. C’est le seul repère mnémotechnique fiable.
Angles remarquables cos et sin : le tableau à connaître par coeur
Les formules d’addition ne servent à rien si vous hésitez sur les valeurs de cos et sin pour les angles de base. Voici le tableau des cinq angles à retenir entre 0 et pi/2.
| Angle | 0 | pi/6 | pi/4 | pi/3 | pi/2 |
| cos | 1 | racine(3)/2 | racine(2)/2 | 1/2 | 0 |
| sin | 0 | 1/2 | racine(2)/2 | racine(3)/2 | 1 |
Un moyen de vérification rapide : la ligne de cos se lit à l’envers dans la ligne de sin. Si vous connaissez l’une, vous retrouvez l’autre par symétrie. C’est la complémentarité cos(pi/2 – x) = sin(x) traduite dans le tableau.
Erreurs de signe et de quadrant : les pièges récurrents au bac
Les copies perdent des points sur trois confusions très ciblées. Les identifier avant l’épreuve change la donne.
- Confondre le signe de cos et sin selon le quadrant. Au-delà de pi/2, cos devient négatif alors que sin reste positif (deuxième quadrant). Beaucoup d’élèves appliquent les formules d’angles associés sans vérifier dans quel cadran tombe le résultat.
- Inverser le signe dans cos(a + b). Le piège classique : écrire cos a cos b + sin a sin b au lieu du « -« . C’est la formule de cos(a – b), pas de cos(a + b). Relire le signe de la parenthèse avant de poser le signe central.
- Oublier que sin(a + b) croise les fonctions. Certains écrivent sin a sin b + cos a cos b par réflexe symétrique avec le cosinus. Le croisement sin cos / cos sin est la signature du sinus.
Ces trois erreurs représentent la majorité des fautes en trigonométrie dans les sujets récents de bac et de bac blanc en spécialité maths.
Formules de duplication et linéarisation : dérivées directes de cos cos sin sin
Les formules de duplication ne sont pas des formules supplémentaires à apprendre. Elles se déduisent des formules d’addition en posant a = b.
En remplaçant b par a dans sin(a + b), on obtient sin(2a) = 2 sin a cos a. Dans cos(a + b), on obtient cos(2a) = cos²(a) – sin²(a). Cette dernière se réécrit de deux façons grâce à cos² + sin² = 1 : cos(2a) = 2cos²(a) – 1 ou cos(2a) = 1 – 2sin²(a).
Pourquoi ces trois formes comptent-elles autant ? Parce qu’elles permettent la linéarisation. En isolant cos²(a) ou sin²(a), on transforme un carré trigonométrique en expression du premier degré en cos(2a). C’est la technique centrale pour calculer des primitives de cos² ou sin² en prépa.
Linéarisation en pratique
cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2 et sin²(a) = (1 – cos(2a)) / 2. Ces deux résultats se retrouvent en trente secondes à partir de cos(2a). Aucune mémorisation supplémentaire si vous maîtrisez cos cos sin sin.
Cos et sin dans les fonctions composées : ce que le programme de Terminale attend
Le programme de spécialité maths en Terminale ne se limite plus au formulaire. Les épreuves intègrent cos et sin dans des fonctions du type f(x) = a cos(omega x + phi) + b, où il faut étudier variations, extremums et période.
La dérivée de cos(u(x)) est -u'(x) sin(u(x)), celle de sin(u(x)) est u'(x) cos(u(x)). Ces résultats découlent directement de la relation cos’ = -sin et sin’ = cos, combinée à la dérivation en chaîne.
Dans un sujet de bac récent type, on vous demande de modéliser un phénomène périodique (température, marée, signal). Le passage du formulaire au problème appliqué est la difficulté principale. Connaître les formules ne suffit pas : il faut savoir lire une amplitude, un déphasage, une période dans l’expression de f(x).
Angles associés pour simplifier avant de dériver
Avant de dériver une expression trigonométrique, pensez aux formules d’angles associés. cos(-x) = cos(x), sin(-x) = -sin(x), cos(pi – x) = -cos(x), sin(pi – x) = sin(x). Simplifier d’abord, dériver ensuite : c’est souvent la différence entre un calcul propre et un brouillon illisible.
La fiche complète tient sur une page recto. Les quatre formules d’addition, le tableau des angles remarquables, les trois formes de cos(2a), les dérivées de cos(u) et sin(u), les angles associés. Tout le reste s’en déduit. Imprimez-la, gardez-la sous la main pendant vos révisions, et testez-vous en la reconstruisant de mémoire : le jour de l’épreuve, elle doit sortir sans réfléchir.
